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1[7급 국가직 통계학] 21년 1회차

단순선형회귀모형  $Y_i = \beta_0 + \beta_1(x_i - \overline{x}) + \epsilon_i,\ i = 1, 2, \cdots, n$ 에서 회귀계수  $\beta_0$ 와  $\beta_1$ 에 대한 최소제곱추정량  $\hat{\beta}_0$ 과  $\hat{\beta}_1$ 에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단,  $\epsilon_i$ 는  $N(0, \sigma^2)$ 을 따르고 서로 독립이다)

 $\hat{\beta}_0$ 은  $\beta_0$ 의 불편추정량이다.

 $\hat{\beta}_1$ 은  $\beta_1$ 의 불편추정량이다.

 $\hat{\beta}_0$ 의 분산은  $Var(\hat{\beta}_0) = \sigma^2 \times \left(\frac{1}{n} + \frac{(\overline{x})^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\right)$ 이다.

 $\hat{\beta}_1$ 의 분산은  $Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$ 이다.

해설

중심화된 모형에서  $\hat{\beta}_0=\overline{Y}$ 이므로 분산은  $\sigma^2/n$ 이다. 따라서 제시된 절편 분산식이 옳지 않다.
제시된 식  $\sigma^2\left(\frac{1}{n}+\frac{\overline{x}^2}{\sum(x_i-\overline{x})^2}\right)$ 은 중심화하지 않은 모형  $Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$ 의 절편 분산이다.
절편 추정량의 불편성:  $E(\overline{Y})=\beta_0$ 이므로 옳다.
기울기 추정량의 불편성: 최소제곱 기울기는 불편추정량이므로 옳다.
기울기 분산  $\sigma^2/\sum(x_i-\overline{x})^2$ : 중심화 여부와 관계없이 같아 옳다.

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