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1[7급 국가직 통계학] 21년 1회차

관측값  $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 의 표본평균을  $\overline{x}$ , 표본분산을  $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ 으로 정의할 때,  $n=10$ 인 경우  $\dfrac{10\sum_{i=1}^{10}x_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{10}x_i\right)^2}{s^2}$ 의 값은? (단,  $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 의 값이 모두 같지는 않다)

해설

주어진 식의 값은 90이다.
분자를 정리하면  $10\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2=10\left(\sum x_i^2-10\overline{x}^2\right)=10\sum(x_i-\overline{x})^2$ 
편차제곱합은  $\sum(x_i-\overline{x})^2=9s^2$  이므로 분자는  $90s^2$ , 따라서 비는  $90$ 이다.
9: 편차제곱합과 표본분산의 비(n − 1)만 남긴 값으로, 앞의 계수 10을 빠뜨렸다.
10: 계수 10만 반영하고 편차제곱합을 표본분산으로 바꾸는 단계를 빠뜨렸다.
100: 표본분산의 분모를 n − 1 이 아닌 n 으로 본 값이다.

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