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1[7급 국가직 자동제어] 21년 1회차

다음 상태방정식에서 상태천이행렬(state transition matrix)을  $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$ 이라 할 때,  $a_{12}$ 는?
 $\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$

 $e^{-t}+e^{-2t}$

 $e^{-t}-e^{-2t}$

 $-e^{-t}+e^{-2t}$

 $-e^{-t}-e^{-2t}$

해설

상태천이행렬의 (1,2) 성분은  $a_{12}=e^{-t}-e^{-2t}$ 이다.
 $\Phi(s)=(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}$ 
 $a_{12}(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}$ 
역변환:  $e^{-t}-e^{-2t}$ 
 $e^{-t}+e^{-2t}$ 는  $t=0$ 에서 2가 되어  $\Phi(0)=I$ 의 비대각 성분 0과 맞지 않는다.
 $-e^{-t}+e^{-2t}$ 는  $t=0$ 에서의 기울기가  $-1$ 이어서  $\dot{\Phi}(0)=A$ 의 (1,2) 성분 1과 맞지 않는다.
 $-e^{-t}-e^{-2t}$ 는  $t=0$ 에서  $-2$ 가 되어 초기조건을 만족하지 않는다.

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