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1[7급 국가직 통신이론] 22년 1회차

랜덤 변수  $X$ 의 확률밀도함수가 다음과 같을 때,  $X$ 가 1과 3 사이의 값을 가질 확률은? $f_X(x)=\frac{\beta}{2}e^{-\beta|x|},\quad \beta > 0$

 $\frac{1}{2}\left(e^{3\beta}-e^{\beta}\right)$

 $\frac{1}{2}\left(e^{\beta}-e^{3\beta}\right)$

 $\frac{1}{2}\left(e^{-3\beta}-e^{-\beta}\right)$

 $\frac{1}{2}\left(e^{-\beta}-e^{-3\beta}\right)$

해설

구간이 양수 영역이므로 절댓값을 풀어 적분하면 확률은  $\dfrac{1}{2}\left(e^{-\beta}-e^{-3\beta}\right)$ 이다.
적분:  $P(1\le X\le3)=\int_1^3\dfrac{\beta}{2}e^{-\beta x}\,dx$ 
계산:  $=\dfrac{1}{2}\left[-e^{-\beta x}\right]_1^3=\dfrac{1}{2}\left(e^{-\beta}-e^{-3\beta}\right)$ 
확률은 0과 1 사이의 양수여야 하므로,  $\beta\gt0$ 에서 지수가 양인 식(1을 넘음)이나 순서가 뒤바뀐 식(음수)은 성립하지 않는다.

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