X_1,\ \cdots,\ X_8과 Y_1,\ \cdots,\ Y_8은… | [7급 국가직 통계학] 22년 1회차 기출문제 상세 페이지

$X_1,\ \cdots,\ X_8$과 $Y_1,\ \cdots,\ Y_8$은 각각 두 정규모집단 $N(2,\ \sigma^2)$과 $N(1,\ \sigma^2)$에서 추출한 서로 독립인 확률표본이고, $\overline{X},\ \overline{Y},\ S_p$가 다음과 같을 때, $P(\overline{X}-\overline{Y}\ge 1+c\times S_p)=0.1$을 만족하는 상수 $c$의 값은? (단, $t_\alpha(k)$는 자유도가 $k$인 $t$분포의 (1 － $\alpha$)분위수이다)
○ $\overline{X}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}X_i$
○ $\overline{Y}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}Y_i$
○ $S_p=\sqrt{\frac{1}{14}\left(\sum_{i=1}^{8}(X_i-\overline{X})^2+\sum_{i=1}^{8}(Y_i-\overline{Y})^2\right)}$

$\frac{1}{4}t_{0.1}(14)$

$\frac{1}{3}t_{0.1}(14)$

$\frac{1}{2}t_{0.1}(14)$

$t_{0.1}(14)$

상수 $c$는 $\frac{1}{2}t_{0.1}(14)$이다.
$\bar{X}-\bar{Y}\sim N\!\left(1,\ \sigma^2\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right)\right)=N\!\left(1,\ \dfrac{\sigma^2}{4}\right)$
합동분산 t통계량 $T=\dfrac{\bar{X}-\bar{Y}-1}{S_p/2}\sim t(14)$
$P(T\ge2c)=0.1$에서 $2c=t_{0.1}(14)$
$\frac{1}{4}t_{0.1}(14)$는 표준오차를 분산 계수 그대로 쓴 값이다.
$\frac{1}{3}t_{0.1}(14)$는 표본크기와 맞지 않는다.
$t_{0.1}(14)$는 $\sqrt{1/8+1/8}$을 빠뜨린 값이다.