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1[7급 국가직 통계학] 22년 1회차

자료  $(x_i,\ y_i)$  ( $i=1,\ 2,\ \cdots,\ 20$ )로부터 다음 값을 얻었을 때, 이 자료를 최소제곱법으로 적합한 단순선형회귀식은?
 $\sum_{i=1}^{20}x_i=100,\quad \sum_{i=1}^{20}x_i^2=1{,}200,\quad \sum_{i=1}^{20}y_i=1{,}000,$ 
 $\sum_{i=1}^{20}y_i^2=70{,}000,\quad \sum_{i=1}^{20}x_iy_i=6{,}400$

 $\hat{Y}=40+2x$

 $\hat{Y}=20+2x$

 $\hat{Y}=40+x$

 $\hat{Y}=20+x$

해설

최소제곱 회귀식은  $\hat{Y}=40+2x$ 이다.
최소제곱 추정:  $S_{xx}=1200-\dfrac{100^2}{20}=700$ ,  $S_{xy}=6400-\dfrac{100\times1000}{20}=1400$ 
기울기  $b=\dfrac{1400}{700}=2$ 
절편  $a=\bar{y}-b\bar{x}=50-2\times5=40$ 
 $\hat{Y}=20+2x$ 는  $(\bar{x},\bar{y})=(5,50)$ 에서 30이 되어 평균점을 지나지 않는다.
 $\hat{Y}=40+x$ 는 기울기가  $S_{xy}/S_{xx}=2$ 와 다르다.
 $\hat{Y}=20+x$ 는 기울기와 절편이 모두 맞지 않는다.

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