Z_1,\ Z_2,\ \cdots,\ Z_6이 표준정규분포로부터의 임의… | [7급 국가직 통계학] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 23년 1회차

 $Z_1,\ Z_2,\ \cdots,\ Z_6$ 이 표준정규분포로부터의 임의표본일 때, 다음 식을
만족하는 상수  $c$ 의 값은? (단,  $F_\alpha(k_1,k_2)$ 는 분자와 분모의 자유도가
각각  $k_1$ 과  $k_2$ 인  $F$ 분포의 제 $100\times(1-\alpha)$  백분위수를 나타낸다) $P\left(\frac{Z_1^2+Z_2^2}{Z_3^2+Z_4^2+Z_5^2+Z_6^2}<c\right)=0.05$

 $\frac{1}{2}\times\frac{1}{F_{0.05}(4,2)}$

 $\frac{1}{2}\times F_{0.05}(2,4)$

 $2\times\frac{1}{F_{0.05}(4,2)}$

 $2\times F_{0.05}(2,4)$

해설

비율을  $F(2,4)$  통계량으로 바꾸면  $c=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{F_{0.05}(4,2)}$ 이다.
 $U=Z_1^2+Z_2^2\sim\chi^2(2)$ ,  $V=Z_3^2+\cdots+Z_6^2\sim\chi^2(4)$ 이고 독립이므로  $F=\dfrac{U/2}{V/4}=\dfrac{2U}{V}\sim F(2,4)$ 이다. 따라서  $\dfrac{U}{V}=\dfrac{F}{2}$ 이다.
 $P(F\lt 2c)=0.05$ 이므로  $2c$ 는  $F(2,4)$ 의 하위 5% 점이다. 역수 관계  $F_{0.95}(2,4)=\dfrac{1}{F_{0.05}(4,2)}$ 를 쓰면  $c=\dfrac{1}{2F_{0.05}(4,2)}$ 이다.
 $F_{0.05}(2,4)$ 를 쓰는 조합은 상위 5% 점이라 확률이 0.95가 되므로 틀리다.
계수 2를 곱하는 조합은  $U/V$ 와  $F$ 의 관계를 거꾸로 잡은 것이다.

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