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1[7급 국가직 전달현상] 23년 1회차

피스톤 장치에 1 N의 힘을 가해 수평의 원통형 관으로부터  $x=0$ 의 출구로 유체를 배출시키고자 한다. 관의 지름과 길이는 각각 2.0 cm, 1.0 m이고, 유체는 1,000 kg m^-3의 밀도와 10 Paㆍs의 점도를 가지는 비압축성 Newton 유체이다. Poiseuille 법칙과 다음의 관계를 가정할 때, 유체의 절반을 배출하기 위한 소요시간[s]은? (단, 원주율  $\pi=3$ 이다. 관과 피스톤 사이에 유체의 누출은 없고, 외부 압력은 일정하다. 피스톤과 벽면 마찰은 무시한다) $\frac{Q}{A}=-\frac{dx}{dt}$ ,  $t=0$ 일 때  $x=1.0\,\mathrm{m}$ 
 $Q$ 는 유체의 부피 유량,  $A$ 는 관의 단면적,  $x$ 는 피스톤의 위치

해설

유체 절반을 배출하는 데 90 s가 걸린다.
피스톤 압력  $\Delta P=F/A$ 가 남은 유체 기둥 길이 x에 걸리므로 Poiseuille 식에서 평균속도는 다음과 같다.
 $\dfrac{Q}{A}=\dfrac{R^2\Delta P}{8\mu x}=\dfrac{F}{8\pi\mu x}=\dfrac{1}{8\times3\times10\,x}=\dfrac{1}{240x}$ 
변수분리 후 x를 1.0 m에서 0.5 m까지 적분한다.
 $-x\,dx=\dfrac{dt}{240}\;\Rightarrow\;\dfrac{1.0^2-0.5^2}{2}=\dfrac{t}{240}\;\Rightarrow\;t=0.375\times240=90\,\mathrm{s}$ 
120은 적분 대신 초기 속도로 일정하게 흐른다고 보고 0.5 m를 나눈 값이다.
180은 적분에서 1/2 계수를 빠뜨려 0.75×240으로 계산한 값이다.
270은 변수분리 적분 결과와 맞지 않는 과대값이다.

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