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1[7급 국가직 물리학개론] 23년 1회차

질량이  $m$ 인 인공위성이 질량이  $M$ 인 지구 중심에서 거리  $r$ 만큼 떨어진 원 궤도를 일정한 속력  $v$ , 공전주기  $T$ 로 돌고 있다. 만약 동일한 인공위성이 지구 중심과의 거리가  $\dfrac{r}{2}$ 인 원 궤도에서 공전한다면, 이 궤도에서 인공위성의 속력과 공전주기를 바르게 연결한 것은?

속력　공전주기

 $2v$ 　 $\dfrac{1}{4}T$

 $2v$ 　 $\dfrac{1}{2}T$

 $\sqrt{2}\,v$ 　 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}T$

 $\sqrt{2}\,v$ 　 $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}T$

해설

반지름이 절반이 되면 속력은  $\sqrt{2}\,v$ , 공전주기는  $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}T$ 가 된다.
만유인력이 구심력이므로  $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ 에서  $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\propto r^{-1/2}$ 이다.
주기는  $T=\dfrac{2\pi r}{v}\propto r^{3/2}$ (케플러 제3법칙)이므로  $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ 배가 된다.
속력을 2배로 보는 조합은 속력이 반지름의 제곱근에 반비례한다는 점을 놓친 것이다.
속력  $\sqrt{2}\,v$ 와 주기  $\dfrac{1}{\sqrt{2}}T$ 의 조합은 주기를  $r^{1/2}$ 에 비례하는 것으로 잘못 본 것이다.

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