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1[7급 국가직 자동제어] 24년 1회차

다음과 같이  $x(t) = Pz(t)$ 를 이용하여 상태공간 방정식 (가)를 (나)로 상사변환(similarity transformation)할 때, 행렬  $P$ 로 적합한 것은?
(가)  $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)$ 
 $y(t) = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix}x(t)$ 
(나)  $\dot{z}(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}z(t) + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}u(t)$ 
 $y(t) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix}z(t)$

 $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$

 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$

 $\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

해설

적합한 변환 행렬은  $P=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1 & -2\end{bmatrix}$ 이다.
 $x=Pz$ 이면  $\dot{z}=P^{-1}APz+P^{-1}Bu$ ,  $y=CPz$ 이다. (나)가 대각형이므로 P의 열은 A의 고유벡터여야 한다.
 $A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=-1\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ ,  $A\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\4\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}$ 
 $CP=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}$ ,  $P\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=B$ 로 (나)와 일치한다.
 $\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -2\end{bmatrix}$ 는 고유벡터 행렬이 아니라서  $P^{-1}AP$ 가 대각형이 되지 않고  $CP=\begin{bmatrix}-3 & -2\end{bmatrix}$ 이다.
 $\begin{bmatrix}-2 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$ 도 같은 이유로 대각화되지 않고  $CP=\begin{bmatrix}-6 & -1\end{bmatrix}$ 이다.
 $\begin{bmatrix}1 & 1\\-2 & -1\end{bmatrix}$ 는 고유벡터의 순서가 바뀌어 대각 원소가  $-2,\ -1$  순이 되고,  $CP=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}$ 로 출력 행렬도 맞지 않는다.

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