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1[7급 국가직 물리학개론] 25년 1회차

그림은 곡면 경사로를 따라 왕복운동을 하는 질량이  $m$ 인 구슬을 나타낸 것이다. 구슬의 수평축 위치  $x$ 에 따른 경사로의 높이  $h$ 가 관계식  $h=\alpha x^2$ 을 만족한다면, 구슬의 왕복운동 주기는? (단, 구슬의 크기와 모든 마찰은 무시하고,  $\alpha$ 는 상수, 중력 가속도는  $g$ 이다)

 $\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha g}}$

 $\frac{2\pi}{\sqrt{2\alpha g}}$

 $2\pi\sqrt{\frac{m}{\alpha g}}$

 $2\pi\sqrt{\frac{m}{2\alpha g}}$

해설

왕복운동 주기는  $\frac{2\pi}{\sqrt{2\alpha g}}$ 이다.
위치에너지는  $U=mgh=mg\alpha x^2$ 로 용수철의  $\frac{1}{2}kx^2$  꼴이므로 유효 용수철 상수는  $k=2mg\alpha$ 이다(작은 진폭 근사).
 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{2\alpha g}$ 
 $T=\frac{2\pi}{\sqrt{2\alpha g}}$ 
 $\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha g}}$ :  $\frac{1}{2}kx^2$ 의 계수 2를 빠뜨린 값이다.
 $2\pi\sqrt{\frac{m}{\alpha g}}$ : 질량이 상쇄된다는 점을 놓쳐 차원도 맞지 않는다.
 $2\pi\sqrt{\frac{m}{2\alpha g}}$ : 마찬가지로 질량이 남아 있어 차원이 맞지 않는다.

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