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1[7급 국가직 통계학] 26년 1회차

정규분포  $N(\mu,1)$ 을 따르는 확률표본  $X_1$ ,  $X_2$ ,  $X_3$ 을 이용하여 모평균  $\mu$ 를 추정하려고 한다. 다음에 제시된  $\mu$ 에 대한 추정량  $\hat{\mu}_A$ ,  $\hat{\mu}_B$ ,  $\hat{\mu}_C$  중 평균제곱오차( $MSE$ )가 작은 것부터 순서대로 바르게 나열한 것은? $\hat{\mu}_A=\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2$ 
 $\hat{\mu}_B=\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{4}X_3$ 
 $\hat{\mu}_C=\frac{3}{2}X_1-\frac{1}{4}X_2-\frac{1}{4}X_3$

 $\hat{\mu}_A$ ,  $\hat{\mu}_B$ ,  $\hat{\mu}_C$

 $\hat{\mu}_A$ ,  $\hat{\mu}_C$ ,  $\hat{\mu}_B$

 $\hat{\mu}_B$ ,  $\hat{\mu}_A$ ,  $\hat{\mu}_C$

 $\hat{\mu}_C$ ,  $\hat{\mu}_A$ ,  $\hat{\mu}_B$

해설

세 추정량이 모두 불편추정량이라 MSE는 분산과 같고, 작은 순서는  $\hat{\mu}_B,\ \hat{\mu}_A,\ \hat{\mu}_C$ 이다.
계수의 합이 각각 1이므로 편향은 0이고,  $Var(X_i)=1$ 이므로 분산은 계수 제곱의 합이다.
 $Var(\hat{\mu}_A)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{8}$ 
 $Var(\hat{\mu}_B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{3}{8}$ 
 $Var(\hat{\mu}_C)=\frac{9}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{19}{8}$

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