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1[7급 국가직 전달현상] 26년 1회차

반지름이  $R$ 인 원통형 실린더 내부에서 단위 부피당 일정한 속도로 열이 발생한다. 열은 실린더의 반지름 방향으로만 전달되고, 정상상태 온도 분포는 다음과 같이 주어진다. 실린더의 열전도도가 온도와 상관없이 5  $\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ 로 일정할 때, 단위 부피당 열 에너지 발생 속도[ $\mathrm{kW\,m^{-3}}$ ]는? $T = 1{,}000(5.2 - 5r^2 + \ln r)$ 
 $T$ 는 실린더 내부 중심으로부터  $r$ [m]만큼 떨어진 곳의 온도 [°C]이다.

1,000

해설

단위 부피당 열 발생 속도는 100  $kW/m^{3}$  이다.
원통 좌표의 열 발생 전도식은  $\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = -\dfrac{\dot{q}}{k}$  이다.
미분:  $\dfrac{dT}{dr} = 1000\left(-10r + \dfrac{1}{r}\right)$ ,  $r\dfrac{dT}{dr} = 1000(-10r^2 + 1)$ 
 $\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = \dfrac{1000(-20r)}{r} = -20000$ 
결과:  $\dot{q} = 20000 \times 5 = 1.0 \times 10^{5}\ \mathrm{W\,m^{-3}} = 100\ \mathrm{kW\,m^{-3}}$  (로그항은 라플라시안이 0이라 발생항에 기여하지 않는다)

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