다음 시스템의 상태천이행렬(state transition matrix)… | [7급 국가직 자동제어] 26년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 자동제어] 26년 1회차

다음 시스템의 상태천이행렬(state transition matrix)은? (단,  $\mathrm{x}(t)$ 는
상태변수행렬,  $\mathrm{u}(t)$ 는 입력변수행렬,  $\mathrm{y}(t)$ 는 출력변수행렬이다)
 $\dot{\mathrm{x}}(t)=\begin{bmatrix}0&2\\2&0\end{bmatrix}\mathrm{x}(t)+\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}\mathrm{u}(t)$ 
 $\mathrm{y}(t)=[2\ \ 1]\mathrm{x}(t)$

 $0.5\begin{bmatrix}e^{-2t}+e^{2t}&e^{2t}-e^{-2t}\\e^{2t}-e^{-2t}&e^{-2t}+e^{2t}\end{bmatrix}$

 $0.5\begin{bmatrix}e^{2t}+e^{-2t}&e^{-2t}-e^{2t}\\e^{-2t}-e^{2t}&e^{2t}+e^{-2t}\end{bmatrix}$

 $0.5\begin{bmatrix}e^{-2t}-e^{2t}&e^{2t}+e^{-2t}\\e^{2t}+e^{-2t}&e^{-2t}-e^{2t}\end{bmatrix}$

 $0.5\begin{bmatrix}e^{2t}-e^{-2t}&e^{-2t}+e^{2t}\\e^{-2t}+e^{2t}&e^{2t}-e^{-2t}\end{bmatrix}$

해설

상태천이행렬  $\varPhi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]$ 는 대각 성분이  $0.5(e^{2t}+e^{-2t})$ , 비대각 성분이  $0.5(e^{2t}-e^{-2t})$ 인 행렬이다.
 $sI-A=\begin{bmatrix}s&-2\\-2&s\end{bmatrix}$ 
 $(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2-4}\begin{bmatrix}s&2\\2&s\end{bmatrix}$ 
 $\dfrac{s}{s^2-4}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s-2}+\dfrac{1}{s+2}\right)\to\dfrac{1}{2}(e^{2t}+e^{-2t})$ 
 $\dfrac{2}{s^2-4}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s-2}-\dfrac{1}{s+2}\right)\to\dfrac{1}{2}(e^{2t}-e^{-2t})$ 
비대각 성분이  $e^{-2t}-e^{2t}$ 인 것: 부호가 반대여서  $\dot{\varPhi}(0)=A$ 를 만족하지 않는다.
대각 성분이  $e^{-2t}-e^{2t}$ 인 것:  $t=0$ 에서 대각이 0이 되어  $\varPhi(0)=I$  조건을 만족하지 않는다.
대각 성분이  $e^{2t}-e^{-2t}$ 인 것: 마찬가지로  $t=0$ 에서 단위행렬이 되지 않는다.

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