[9급 국가직 응용역학개론] 08년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

D점 종거는 −0.375이다.
C점 전단력 영향선에서 단위하중이 C보다 오른쪽에 있으면 $V_C=R_A$ 이다. 단위하중이 B 너머 3 m 내민 끝 D에 있을 때 B점 모멘트 평형으로
$R_A\times8+1\times3=0 \Rightarrow R_A=-\dfrac{3}{8}$
따라서 $V_C=-0.375$ 로, 내민 구간에서 음(−)의 종거가 선형으로 커진다.
−0.156·−0.264·−0.557 은 B점 모멘트 평형에서 얻는 $-3/8$ 과 맞지 않는다.

전단력이 0인 점은 A에서 $\dfrac{3}{8}L$ 떨어진 곳이다.
등분포하중 $w$ 가 AC(길이 $L/2$)에 작용하면 합력 $wL/2$ 는 A에서 $L/4$ 위치이다.
$R_A=\dfrac{wL}{2}\times\dfrac{3L/4}{L}=\dfrac{3wL}{8}$
하중 구간에서 $V(x)=R_A-wx=0 \Rightarrow x=\dfrac{3L}{8}$. 이 점이 최대 휨모멘트 위치이기도 하다.
$L/8$·$L/16$·$3L/16$ 위치에서는 $V=R_A-wx$ 가 0이 되지 않는다.

하중 3P의 위치는 $x=l$ 이다.
A점에 대한 모멘트 평형(시계방향 +)을 세우면 왼쪽 끝 P는 A 왼쪽 $l$, 2P는 A 오른쪽 $3l$, $R_B=4P$ 는 A 오른쪽 $2l$ 이다.
$-P\cdot l+3P\cdot x+2P\cdot3l-4P\cdot2l=0$
$3Px=3Pl \Rightarrow x=l$
$x=2l$ 이면 3P가 B 위에 놓여 B점 반력이 4P보다 커진다.
$\dfrac{3}{2}l$·$\dfrac{2}{3}l$ 은 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.

B점은 위쪽(↑)으로 $\dfrac{2Pl^3}{3EI}$ 만큼 처진다.
자유단 하중 P에 의한 처짐은 아래로 $\dfrac{Pl^3}{3EI}$, 자유단의 반시계방향 모멘트 $M_o=2Pl$ 에 의한 처짐은 위로 $\dfrac{M_o l^2}{2EI}=\dfrac{Pl^3}{EI}$ 이다.
중첩하면 $\dfrac{Pl^3}{EI}-\dfrac{Pl^3}{3EI}=\dfrac{2Pl^3}{3EI}$ (위쪽)
$\dfrac{4Pl^3}{3EI}$ 는 두 처짐을 더해 버린 값이다.
아래쪽으로 본 것은 모멘트에 의한 상향 처짐이 하중에 의한 하향 처짐보다 큰 점을 놓쳤다.

옳지 않은 것은 형상계수를 $M_y/M_p=2/3$ 로 둔 설명이다.
형상계수는 소성모멘트를 항복모멘트로 나눈 값이다. 직사각형 단면은
$f=\dfrac{M_p}{M_y}=\dfrac{\sigma_y bh^2/4}{\sigma_y bh^2/6}=1.5$
소성계수 $Z_p=\dfrac{bh}{2}\times\dfrac{h}{2}=\dfrac{bh^2}{4}$ 로 옳다.
소성모멘트 $M_p=\sigma_y Z_p=\dfrac{\sigma_y bh^2}{4}$ 로 옳다.
항복모멘트 $M_y=\sigma_y Z=\dfrac{\sigma_y bh^2}{6}$ 로 옳다.
형상계수는 항상 1보다 크다.

세장비는 100이다.
좌굴은 강성이 작은 축으로 일어나므로 최소 단면 2차 모멘트로 회전반경을 구한다.
$r_{min}=\sqrt{\dfrac{I_{min}}{A}}=\sqrt{\dfrac{1600}{100}}=4\,\mathrm{cm}$
$\lambda=\dfrac{L}{r_{min}}=\dfrac{400}{4}=100$
80 은 $I_{max}$ 로 구한 회전반경 5 cm 를 쓴 값이다.
50·160 은 길이 또는 회전반경 계산을 잘못한 값이다.

부재 CF의 부재력은 15 kN(인장)이다.
절점 I에서 두 경사재 IF, IH는 45°로 대칭이다. 연직 평형으로 $F_{IF}=-F_{IH}$, 수평 평형 $30=\sqrt2F_{IF}$ 에서 $F_{IF}=15\sqrt2\,\mathrm{kN}$ (인장)이다.
절점 F에서 연직 평형
$F_{CF}=F_{IF}\sin45^\circ=15\sqrt2\times\dfrac{1}{\sqrt2}=15\,\mathrm{kN}$ 로, IF가 F를 위로 당기므로 CF도 F를 아래로 당기는 인장이다.
30 kN 은 절점 F의 연직 평형 결과와 맞지 않는다.
압축으로 본 것은 하중이 오른쪽으로 밀 때 왼쪽 기둥이 인장을 받는 것과 반대이다.

A점의 휨모멘트는 −21 tf·m이다.
힌지 D 오른쪽의 DB 부분(지간 6 m)을 먼저 푼다. C점의 반시계방향 $M_c=42\,\mathrm{tf\cdot m}$ 에 대해 D점 모멘트 평형
$R_B\times6+42=0 \Rightarrow R_B=-7\,\mathrm{tf}$ (하향)이므로 힌지 D에는 상향 7 tf 가 필요하다.
그 반작용으로 AD 캔틸레버의 D점에 하향 7 tf가 작용한다.
$M_A=-7\times3=-21\,\mathrm{tf\cdot m}$ (부모멘트)
+21 은 부호(위로 볼록한 휨)를 반대로 본 값이다.
±9 는 힌지 전달력 7 tf 와 팔 길이 3 m 로 얻는 값과 맞지 않는다.

콘크리트 응력은 105, 철근 응력은 945 kgf/$\mathrm{cm}^{2}$ 이다.
철근과 콘크리트는 함께 줄어들므로 $\varepsilon_s=\varepsilon_c$ 이고, 따라서 $\sigma_s=n\sigma_c=9\sigma_c$ 이다. 하중은 환산단면적 $A_c+nA_s=900+9\times27=1143\,\mathrm{cm^2}$ 에 분담되어 $\sigma_c=P/1143$ 이 된다.
발문에 하중 크기가 나타나 있지 않지만, 응력비 9만으로 답이 정해진다. 보기 중 $\sigma_s=9\sigma_c$ 를 만족하는 조합은 $9\times105=945$ 하나뿐이다.
105와 925 는 응력비가 9가 아니어서 변형 적합 조건을 어긴다.
125를 쓴 조합은 철근 응력이 1125 가 되어야 하므로 맞지 않는다.

잉여미지반력은 2개이다.
수평반력이 없으면 양단고정보의 반력은 각 끝의 수직반력과 모멘트로 4개이고, 쓸 수 있는 평형방정식은 $\Sigma F_y=0$, $\Sigma M=0$ 의 2개이다.
따라서 부정정 차수는 $4-2=2$ 이고, 변위일치법에서는 이 2개를 잉여력으로 잡는다.
1개는 일단고정·타단 롤러보(1차 부정정)의 경우이다.
3개·4개는 수평반력까지 포함하거나 평형방정식을 빼지 않은 값이다.

합력의 작용위치는 $X=\dfrac{1}{2}L$ 이다.
합력은 $R=3P-P=2P$ (위쪽)이다. P의 작용선을 기준으로 바리뇽 정리를 쓰면
$2P\times x=3P\times L \Rightarrow x=1.5L$
3P 작용선으로부터의 거리는 $X=1.5L-L=0.5L$ 로, 합력은 큰 힘 3P의 바깥쪽에 놓인다.
$\dfrac{1}{3}L$·$\dfrac{2}{3}L$ 은 바리뇽 정리를 만족하지 않으며, 방향이 반대인 두 평행력의 합력이 큰 힘 바깥쪽에 놓인다는 점과도 어긋난다.
$L$ 은 모멘트 평형을 만족하지 않는다.

빈칸은 순서대로 같고, 반대방향, 회전운동이다.
우력은 크기가 같고 방향이 반대인 평행한 두 힘의 쌍으로, 합력은 0이지만 물체에 회전운동만을 일으킨다. 그 크기는 힘×두 작용선 사이 거리이다.
크기가 다르면 합력이 0이 되지 않아 우력이 아니다.
방향이 같으면 합력이 두 힘의 합이 되어 평행(병진)운동을 일으킨다.

$I_{x2}=$ 85,000 $\mathrm{cm}^{4}$이다.
평행축 정리 $I=I_G+Ad^2$ 로 먼저 도심축 값을 구한다.
$I_G=25000-200\times10^2=5000\,\mathrm{cm^4}$
$\mathrm{X}_{2}$축은 도심에서 20 cm 이므로
$I_{x2}=5000+200\times20^2=85000\,\mathrm{cm^4}$
45,000 은 $\mathrm{X}_{1}$에서 $\mathrm{X}_{2}$까지 10 cm 만 더해 평행축 정리를 $\mathrm{X}_{1}$ 기준으로 잘못 쓴 값이다.
105,000 은 도심축을 거치지 않고 $\mathrm{X}_{1}$ 값에 $200\times20^2$ 를 더한 값이고, 65,000 은 평행축 정리를 만족하지 않는다.

C점의 수평변위는 $\dfrac{6PL}{5EA}$ 이다.
양단 고정봉에서 하중 P는 두 구간의 강성비로 나뉜다. 강성은 길이에 반비례하므로 AC(3L)가 $\dfrac{2}{5}P$(인장), CB(2L)가 $\dfrac{3}{5}P$(압축)를 분담한다.
$\delta_C=\dfrac{(2P/5)(3L)}{EA}=\dfrac{6PL}{5EA}$ (CB로 계산해도 $\dfrac{(3P/5)(2L)}{EA}$ 로 같다)
$\dfrac{4PL}{5EA}$·$\dfrac{PL}{EA}$·$\dfrac{7PL}{5EA}$ 은 두 구간의 신장·압축량이 같아야 한다는 변위 적합 조건을 만족하지 않는다.

부재 응력은 0.1 GPa이다.
자유 열팽창량 $\delta_T=\alpha\Delta TL=15\times10^{-6}\times40\times1000=0.6\,\mathrm{mm}$ 이다.
간격 0.1 mm 까지는 자유롭게 늘어나므로 구속되는 양은 $0.6-0.1=0.5\,\mathrm{mm}$ 이다.
$\sigma=E\dfrac{0.5}{1000}=200\times0.0005=0.1\,\mathrm{GPa}$ (압축)
간격을 무시하면 0.12 GPa 가 되어 어느 보기와도 맞지 않으므로 간격 0.1 mm 를 반드시 빼야 한다.
0.2·0.4·0.8 GPa 은 구속 변형량 0.5 mm 로 얻는 응력보다 크다.

허용하중은 210 kN이다.
$\delta=\dfrac{PL}{EA}$ 에서 $P=\dfrac{EA\delta}{L}$ 이다.
$P=\dfrac{2.1\times10^4\times1\times1.0}{100}=210\,\mathrm{kN}$ (길이 1 m = 100 cm 로 단위 통일)
160·180 kN 은 신장량이 1.0 cm 에 못 미쳐 최대 허용하중이 아니다.
240 kN 은 허용 신장량 1.0 cm 를 넘는 하중이다.

반지름은 0.05 cm 감소한다.
세로 변형률 $\varepsilon=\dfrac{10}{1000}=0.01$
가로 변형률 $\varepsilon'=\nu\varepsilon=0.2\times0.01=0.002$
반지름 25 cm 의 변화 $\Delta r=0.002\times25=0.05\,\mathrm{cm}$ 이며, 인장 시 단면은 수축한다.
0.1 cm 는 반지름이 아니라 지름의 변화량이다.
증가로 본 값은 인장 시 가로 수축하는 포아송 효과와 반대이다.

처짐각은 $\theta_A=\dfrac{M_1L}{4EI}$(시계방향), 반력은 $R_A=\dfrac{3M_1}{2L}$(↓)이다.
타단 고정 부재의 회전강성은 $\dfrac{4EI}{L}$ 이므로 $\theta_A=\dfrac{M_1}{4EI/L}=\dfrac{M_1L}{4EI}$ 이고, 고정단 B에는 전달률 1/2로 $M_1/2$ 가 전달된다.
두 끝 모멘트 합 $\dfrac{3M_1}{2}$ 를 반력 우력이 받아야 하므로 $R_A=\dfrac{3M_1}{2L}$ 이며, 시계방향 모멘트에 맞서도록 A점은 아래쪽이다.
$\dfrac{5M_1L}{12EI}$ 는 회전강성을 잘못 잡은 처짐각이다.
$\dfrac{M_1}{2L}$ 은 두 끝 모멘트 합 $\dfrac{3M_1}{2}$ 를 반영하지 않은 반력이다.

필요한 힘은 125 kN이다.
T가 걸린 줄은 천장에서 내려와 도르래 A를 감고 올라가 도르래 B를 돌아 나오므로 장력이 전 구간 T이다. B는 양쪽 줄로 $2T$ 를 받고, B를 매단 고정도르래 C의 줄 장력은 $2T$ 이며 그 반대편 끝이 A를 끌어올린다.
도르래 A의 연직 평형
$T+T+2T=500 \Rightarrow T=125\,\mathrm{kN}$ (4배의 힘 이득)
250 kN 은 움직도르래 하나만 고려한 값이다.
500 kN 은 고정도르래처럼 힘 이득이 없다고 본 값이고, 25 kN 은 이득을 과대하게 본 값이다.

$a/l$ 의 비는 1/16이다.
대칭이므로 $R_A=R_B=P+\dfrac{wl}{2}$ 이다. C점 휨모멘트를 왼쪽에서 구하면
$M_C=-P\left(a+\dfrac{l}{2}\right)+R_A\dfrac{l}{2}-\dfrac{wl}{2}\cdot\dfrac{l}{4}=-Pa+\dfrac{wl^2}{8}$
$M_C=0 \Rightarrow a=\dfrac{wl^2}{8P}=\dfrac{wl^2}{8\times2wl}=\dfrac{l}{16}$
1/8 은 $P=wl$ 일 때의 값으로 P=2wl 조건과 맞지 않는다.
1/4·1/6 은 $M_C=0$ 조건을 만족하지 않는다.