[9급 서울시 수학(지적)] 20년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

$x$에 대한 이차방정식 $x^2+ax+(a-1)=0$의 두 근 $\alpha, \beta$에 대하여 $\alpha^2+\beta^2=1$일 때, 실수 $a$의 값은?

$0$

$1$

$2$

$3$

이차다항식 $f(x)$에 대하여 $f(3-x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 4이고, $x^2f(x+1)$은 $(x-3)(x+1)$로 나누어 떨어질 때, $f(x)$를 $x+2$로 나눈 나머지는?

$-10$

$11$

$-12$

$13$

수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$이 4이고, 수열 $\{2a_n\}$은 공차가 6인 등차수열일 때, 수열 $\{a_n\}$의 제10항 $a_{10}$의 값은?

$31$

$32$

$33$

$34$

다항함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 $\int (2x+3)f'(x)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2-x+C$가 성립할 때, $\lim_{h \to 0}\frac{f(-1-h)-f(-1+h)}{2h}$의 값은? (단, $C$는 적분상수이다.)

$-2$

$-1$

$1$

$2$

두 사건 $A$, $B$에 대하여 $P(A \cup B)=\frac{2}{3}$, $P(B)=\frac{1}{4}$일 때, $P(A|B^c)$의 값은? (단, $B^c$는 $B$의 여사건이다.)

$\frac{1}{9}$

$\frac{2}{9}$

$\frac{4}{9}$

$\frac{5}{9}$

두 곡선 $y=x^3+x$, $y=ax^2+bx+3$이 점$(1, 2)$에서 서로 직교하는 접선을 가질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $\frac{b}{a}$의 값은?

$-\frac{7}{3}$

$-\frac{8}{3}$

$-\frac{10}{3}$

$-\frac{11}{3}$

$x \neq 1$인 양수 $x$에 대하여 $\log_4 x-\log_x 2=\frac{1}{2}$을 만족하는 모든 $x$의 합은?

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{9}{2}$

수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k+1}=n^2+n$일 때, $\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{a_k}=\frac{q}{p}$이다. 이때 $p+q$의 값은? (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.)

$30$

$31$

$32$

$33$

$0 \le x \le 1$일 때, 곡선 $y=x^4-3x^3+2x^2$과 두 직선 $y=x-1$, $x=0$으로 둘러싸인 영역의 넓이는?

$\frac{31}{60}$

$\frac{37}{60}$

$\frac{43}{60}$

$\frac{49}{60}$

복소수 $z=(i-1)x^2-(3i+1)x+2+2i$에 대하여 $z^2$이 음의 실수가 되도록 하는 실수 $x$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$이다.)

$-2$

$-1$

$1$

$2$

삼차함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2}\frac{f(x)}{x-2}=5$, $\lim_{x \to 3}\frac{f(x)}{x-3}=1$을 만족할 때, $f(x)$의 $x^3$의 계수는?

$4$

$5$

$6$

$7$

$f(n)=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i+3)$일 때, $f(12)$의 값은?

$762$

$763$

$764$

$765$

다항식 $x^{100}-ax^2+3$을 $x-1$로 나눈 몫은 $f(x)$이고, 나머지가 1일 때, $f(x)$를 $x-1$로 나눈 나머지는? (단, $a$는 상수이다.)

$100$

$98$

$96$

$94$

$xy$평면에 놓인 두 원 $x^2+y^2+2x-4y+1=0$, $x^2+(y+3)^2=20$의 넓이를 모두 이등분하는 직선의 기울기는?

$-5$

$5$

$-3$

$3$

이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 <보기>와 같을 때, 이차부등식 $f\left(\frac{2x-1}{3}\right) \le 0$을 만족시키는 정수 $x$의 개수는?
<보기>

$4$

$5$

$6$

$7$

$\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^7$을 전개하였을 때, $x^2$의 계수는?

$70$

$140$

$210$

$280$

좌표평면 위에 두 점 $P(3, 1)$, $S(1, 2)$가 있다. $Q$가 $x$축 위에서 움직이고, $R$이 $y$축 위에서 움직일 때, $\overline{PQ}+\overline{QR}+\overline{RS}$의 최솟값은?

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

$5\sqrt{2}$

$x$에 대한 이차방정식 $ax^2+(k+1)x-b(2+k)+a+3=0$이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 2를 근으로 가질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $5a+b$의 값은?

$-1$

$0$

$1$

$2$

함수 $F(x)=\int_{5}^{x}(t^3+\frac{1}{2}t^2+2t)dt$에 대하여 $f(x)=F'(x)$라 할 때, $f'(x)=4$가 되는 양수 $x$의 값은?

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$1$

$\frac{4}{3}$

함수 $y=\cos^2\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)-3\cos^2\theta-4\sin(\theta+\pi)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라고 할 때, $M+m$의 값은? (단, $0 \le \theta \lt 2\pi$이다.)

$1$

$-1$

$3$

$-3$