상온일 때 순철의 단위격자 중 원자를 제외한 공간의 부피는 약 몇 % … | [침투비파괴검사기능사 필기] 15년 3회차 기출문제 상세 페이지

상온에서 순철은 체심입방(BCC) 구조를 가지며, 단위격자당 원자 개수는 2개이다.
철의 원자반지름을 $r$이라 하면, BCC 구조에서 단위격자 한 모서리 길이 $a$와의 관계는 체대각선이 원자 4개의 반지름과 같으므로
$\sqrt{3}a = 4r$, 즉 $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$이다.
단위격자의 부피는
$V_{\text{cell}} = a^3 = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$이고,
원자 부피는
$V_{\text{atom}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8\pi r^3}{3}$이다.
공간의 부피 비율은
$\frac{V_{\text{cell}} - V_{\text{atom}}}{V_{\text{cell}}} = 1 - \frac{V_{\text{atom}}}{V_{\text{cell}}} = 1 - \frac{\frac{8\pi r^3}{3}}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} = 1 - \frac{8\pi\sqrt{3}}{64} = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{8}$이다.
$\pi \approx 3.14159$, $\sqrt{3} \approx 1.732$를 대입하면
$\frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx \frac{5.441}{8} \approx 0.680$이므로 공공률은 약 $32\%$이다.