그림과 같은 원통상 도선 한 가닥이 유전율 ε(F/m)인 매질 내에 지… | [전자기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

대지와 도선 사이의 단위 길이당 정전용량은 $C = \dfrac{2\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}\dfrac{h}{a}}$ 이다.
그림처럼 반지름 a 인 도선 중심이 지면에서 h 높이에 있다. 지면을 영상법으로 바꾸면 높이 $h_0 = \sqrt{h^2-a^2}$ 의 선전하 $\rho$ 와 지면 아래 같은 거리의 $-\rho$ 가 되고, 이때 도선 표면이 등전위면이 된다. 도선 아래 끝(높이 $h-a$)에서 두 선전하까지 거리 비는 $\dfrac{h-a+h_0}{h_0-h+a} = \dfrac{h+\sqrt{h^2-a^2}}{a}$ 이므로
$V = \dfrac{\rho}{2\pi\varepsilon}\ln\dfrac{h+\sqrt{h^2-a^2}}{a} = \dfrac{\rho}{2\pi\varepsilon}\cosh^{-1}\dfrac{h}{a}$
$C = \dfrac{\rho}{V} = \dfrac{2\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}\dfrac{h}{a}}$
$\cosh^{-1}x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ 이므로 결과는 역쌍곡 코사인 형태이고, 지면 전위가 0 이라 계수는 $2\pi\varepsilon$ 이다.
$\dfrac{2\pi\varepsilon}{\sinh^{-1}\frac{h}{a}}$ 는 $\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 꼴이라 유도한 전위식과 다르다.
$\dfrac{\pi\varepsilon}{\sinh^{-1}\frac{h}{a}}$ 는 함수 형태와 계수가 모두 유도식과 다르다.
$\dfrac{\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}\frac{h}{a}}$ 는 도선과 영상 도선 사이(전위차 2V)의 용량으로, 도선과 대지 사이 용량의 절반이다.