연속확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을 때 X의 기댓값은? | [사회조사분석사 2급 필기] 21년 2회차 기출문제 상세 페이지

X의 기댓값은 $E(X)=\frac{6}{12}=0.5$이다.
확률밀도함수의 전체 적분이 1이어야 하므로
$\int_0^1 kx(1-x)dx = k\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{k}{6} = 1$에서 k=6이 된다.
기댓값은
$E(X)=\int_0^1 x\cdot kx(1-x)dx = k\int_0^1 (x^2-x^3)dx = k\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{k}{12}$이다.
이 분포는 Beta(2,2) 분포로 대칭이므로 기댓값이 0.5임은 직관적으로도 확인된다.