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[해설]

주어진 식은 “실내에 쌓이는 양 = 발생량 − 환기로 빠져나가는 양”이라는 물질수지다. 농도가 0인 상태에서 시작해 이 미분방정식을 풀면 다음과 같이 시간에 대해 정리된다.

$t=-\dfrac{V}{Q'}\ln\dfrac{G-Q'C}{G}$

① 단위 통일 — 발생량이 시간당(g/hr)이므로 환기로 빠져나가는 양도 시간당으로 맞춘다.

$Q'C=56.6\ \mathrm{m^3/min}\times100\ \mathrm{mg/m^3}=5{,}660\ \mathrm{mg/min}$

$=5.66\ \mathrm{g/min}\times60=339.6\ \mathrm{g/hr}$

② 대입

$\dfrac{V}{Q'}=\dfrac{3{,}000}{56.6}=53.00\ \mathrm{min}$

$t=-53.00\times\ln\dfrac{600-339.6}{600}=-53.00\times\ln0.434$

$=-53.00\times(-0.8347)=\mathbf{44.24\ \mathrm{min}}$

로그 앞의 $V/Q'$ 는 분(min) 단위 그대로 두어도 된다. 로그 안은 무차원이므로 시간 단위를 결정하는 것은 $V/Q'$ 뿐이며, $G$ 와 $Q'C$ 는 서로 단위만 같으면 g/hr든 g/min이든 상관없다.

계산 도중 $Q'/V=0.0188/\mathrm{min}$ 로 반올림한 뒤 나누면 44.40이 나오는데, 이는 반올림 오차다. $3{,}000/56.6$ 을 통째로 곱하는 편이 정확하다.

이 문제에는 좋은 검산법이 있다. 시간이 충분히 흐르면 농도는 발생량과 환기량이 균형을 이루는 평형농도에 수렴한다.

$C_{\infty}=\dfrac{G}{Q'}=\dfrac{600{,}000\ \mathrm{mg/hr}}{56.6\times60\ \mathrm{m^3/hr}}=176.7\ \mathrm{mg/m^3}$

목표농도 100 mg/m³가 이보다 낮으므로 언젠가는 반드시 도달하며, 그래서 로그 안의 값이 양수로 나온다. 만약 목표농도가 평형농도보다 높았다면 로그 안이 음수가 되어 계산이 성립하지 않는데, 이는 “아무리 기다려도 그 농도에 이르지 않는다”는 뜻이다.