<보기 1>을 <보기 2>에 삽입하려고 할 때 문… | [9급 서울시 국어] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

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<보기 1>
그런데 괴델의 불완전성에 대한 증명이 집합론을 붕괴로 이끌지 않았다. 마치 평행선 공리의 부정이 유클리드 기하학을 붕괴시키지 않고, 오히려 그것은 새로운 기하학의 탄생과 부흥을 가져왔던 것처럼, 공리계의 불완전성은 수학자의 작업이 결코 종결될 수 없음을 뜻했다.
<보기 2>
미국의 수학자 코엔은 칸토어의 연속체 가설과 선택 공리라는 잘 알려진 공리가 집합론의 공리계에 대해 결정 불가능한 명제라는 것을 증명했다. 이로써, “산술 체계를 포함하여 모순이 없는 모든 공리계에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재하며 또한 그 공리계는 자신의 무모순성을 증명할 수 없다.”는 괴델의 정리는 수학의 가장 기초적인 영역인 집합론 자체 안에서 수학적 확증을 얻게 된다. ( ① ) 결정 불가능한 명제, 진리가 끝나기에 수학이 끝나는 지점이 아니라 반대로 진리라는 이름으로 봉인되었던 기존의 체계를 벗어나서 새로운 수학이 시작되는 지점이 되었다. 이런 결정 불가능한 명제는 주어진 공리계 안에서 참임을 증명할 수 없는 명제지만 반대로 거짓임을 증명할 수도 없는 명제다. ( ② ) 다시 말해 그 공리계 안에서 반드시 모순을 일으키지 않는 명제다. 따라서 이런 명제를 공리로 채택한다면 그 공리계 안으로 포섭할 수 있다. 모순을 일으키지 않으니 차라리 쉬운 셈이다. 하지만 여기서 중요한 사실을 하나 추가해야만 한다. ( ③ ) 이처럼 결정 불가능한 명제를 공리로 추가한다고 그 공리계가 완전한 것이 되지 않는다는 것이다. 새로운 공리계에 대해서도 또다시 결정 불가능한 명제가 있다는 것이 괴델 정리의 또 다른 의미이기 때문이다. ( ④ )

①

②

③

④