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1[국회직 9급 기계일반] 23년 1회차

그림과 같이 관의 왼쪽 입구에서 들어온 유체가 오른쪽 출구로 흐른다. 입구와 출구의 단면적이 각각  $\mathbf{S_{1}}$ 과  $\mathbf{S_{2}}$ 이고, 입구와 출구에서 유속이 각각  $\mathbf{v_{1}}$ 과  $\mathbf{v_{2}}$ 일 때, 입구와 출구의 압력 차이( $\mathbf{\triangle p = p_{2} - p_{1}}$ )는? (단, 유체의 밀도는  $\mathbf{\rho}$ 로 나타내고, 유동은 정상상태, 비점성, 비압축성이다)

 $\triangle p = \rho \frac{v_{2}^{2}}{2} \left( 1 + \left( \frac{S_{2}}{S_{1}} \right)^{2} \right)$

 $\triangle p = \rho \frac{v_{1}^{2}}{2} \left( 1 - \left( \frac{S_{2}}{S_{1}} \right)^{2} \right)$

 $\triangle p = \rho \frac{v_{2}^{2}}{2} \left( 1 - \left( \frac{S_{1}}{S_{2}} \right)^{2} \right)$

 $\triangle p = \frac{\rho}{2} \left( v_{1}^{2} + v_{2}^{2} \right)$

 $\triangle p = \frac{\rho}{2} \left( v_{1}^{2} - v_{2}^{2} \right)$

해설

압력 차이는  $\Delta p=\dfrac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)$ 이다. 정상·비점성·비압축성 유동이므로 베르누이 정리를 쓴다.
높이 변화를 고려하지 않으면 입구와 출구 사이에 다음이 성립한다.
 $p_{1}+\dfrac{\rho v_{1}^{2}}{2}=p_{2}+\dfrac{\rho v_{2}^{2}}{2}$ 
 $p_{2}-p_{1}=\dfrac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)$ 
연속 방정식  $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$ 를 쓰면 다른 형태로도 바꿀 수 있지만, 아래 면적비 식들은 이와 일치하지 않는다.
 $\rho\dfrac{v_{2}^{2}}{2}\left(1+(S_{2}/S_{1})^{2}\right)$ 은 틀리다. 두 속도 항의 차가 아니라 합이 되어 있다.
 $\rho\dfrac{v_{1}^{2}}{2}\left(1-(S_{2}/S_{1})^{2}\right)$ 은 틀리다.  $v_{2}=v_{1}S_{1}/S_{2}$ 이므로 면적비가  $S_{1}/S_{2}$ 여야 한다.
 $\rho\dfrac{v_{2}^{2}}{2}\left(1-(S_{1}/S_{2})^{2}\right)$ 은 틀리다. 올바른 식은  $\rho\dfrac{v_{2}^{2}}{2}\left((S_{2}/S_{1})^{2}-1\right)$ 이다.
 $\dfrac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)$ 은 틀리다. 동압 항은 더해지지 않고 차로 남는다.

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