에너지 신호 x ( t )의 Hilbert 변환을 hatx ( t )라… | [국회직 9급 통신이론] 20년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[국회직 9급 통신이론] 20년 1회차

에너지 신호  $x ( t )$ 의 Hilbert 변환을  $hatx ( t )$ 라고 할 때 이들 간의 관계로서 옳지 않은 것은?

 $x ( t )$ 와  $hatx ( t )$  간의 위상차는 180도이다.

 $hatx ( t )$ 는  $x ( t )$ 와  $\frac{1}{\pi t}$ 의 컨벌루션이다.

 $hatx ( t )$ 의 Hilbert 변환은 - $x ( t )$ 이다.

 $\begin{array}{l}\int_{- \infty}^{\infty} {x ( t ) \, \hat{x} \, ( t )} dt = 0\end{array}$

 $x ( t )$ 와  $hatx ( t )$ 의 크기 스펙트럼은 동일하다.

해설

옳지 않은 설명은 위상차가 180도라는 내용이다.
Hilbert 변환의 주파수응답은  $H ( f ) = - j \, \mathrm{sgn} ( f )$  이다. 크기는 1이고 양의 주파수에서 위상을 90도 늦추므로 위상차는 90도이다.
컨벌루션 표현: 임펄스 응답이  $\dfrac{1}{\pi t}$  이므로  $\hat{x} ( t )$ 는 이와  $x ( t )$ 의 컨벌루션이다.
Hilbert 변환을 두 번 적용:  $H^{2} ( f ) = - 1$  이므로 결과는  $- x ( t )$ 이다.
적분 값 0: 신호와 그 Hilbert 변환은 서로 직교한다.
크기 스펙트럼:  $\left| H ( f ) \right| = 1$  이므로 두 신호의 크기 스펙트럼은 같다.

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