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1[국회직 9급 통신이론] 21년 1회차

가우시안 랜덤 변수 X의 확률 밀도 함수(pdf)가  $\mathbf{f_{X} ( x )}$ 로, 누적 분포 함수(cdf)를  $\mathbf{F_{X} ( x )}$ 로 표현할 때, 다음 중 옳지 않은 식은? (단, 가우시안 랜덤 변수 X의 평균은 0이고 분산은 1이라고 가정하고, 오차와 관련한 함수는  $\mathbf{erf ( z ) \, = \, \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} {e^{- t^{2}}} dt}$ 와  $\mathbf{erfc ( z ) \, = \, \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{z}^{\infty} {e^{- t^{2}}} dt}$ 로 주어진다)

 $F_{X} ( x ) \, = \, \frac{1}{2} ( 1 - erfc ( \frac{x}{\sqrt{2}} ) )$

 $f_{X} ( x ) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp ( - \frac{x^{2}}{2} )$

 $erf ( - z ) \, = \, - \, erf ( z )$

 $F_{X} ( x ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} erf ( \frac{x}{\sqrt{2}} )$

 $erfc ( \infty ) \, = 0$

해설

옳지 않은 식은  $F_{X}(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\mathrm{erfc}\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$ 이다. 올바른 식은 상수항이 1인  $F_{X}(x)=1-\dfrac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 이다.
 $x=0$ 을 대입해 확인한다. 평균이 0이므로  $F_{X}(0)=\dfrac{1}{2}$ 이어야 하지만,  $\mathrm{erfc}(0)=1$ 이라 해당 식은 0이 되어 모순이다.
표준 가우시안 밀도: 평균 0, 분산 1을 일반식에 넣은 형태로 옳다.
 $\mathrm{erf}(-z)=-\mathrm{erf}(z)$ : 피적분함수가 우함수라 erf는 기함수이다.
 $F_{X}(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$ : 음의 구간 확률 1/2에 0부터  $x$ 까지의 확률을 더하고  $u=t/\sqrt{2}$ 로 치환한 결과다.
 $\mathrm{erfc}(\infty)=0$ : 적분 구간이 사라지므로 값이 0이다.

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