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1[국회직 9급 통신이론] 21년 1회차

두 랜덤변수 X와 Y의 결합 확률 밀도 함수  $\mathbf{f_{XY} ( x , y )}$ 에 대한
성질로 옳지 않은 것은?

모든 x와 y에 대해  $f_{XY} ( x , y ) \ge 0$

 $P \left\{ x_{1} < X < x_{2} , \, y_{1} < Y < y_{2} \right\} = \int_{y_{1}}^{y_{2}} {\int_{x_{1}}^{x_{2}} {f_{XY} ( x , y ) \,\, dx \,\, dy}}$

 $f_{Y} ( y ) = \int_{- \infty}^{\infty} {f_{XY} ( x , y ) \,\, dy}$

 $F_{XY} ( x , y ) = \int_{- \infty}^{y} {\int_{- \infty}^{x} {f_{XY} ( a , b ) \,\, da \,\, db}}$

 $\int_{- \infty}^{\infty} {\int_{- \infty}^{\infty} {f_{XY} ( x , y ) \,\, dx \,\, dy = 1}}$

해설

옳지 않은 식은 주변 밀도  $f_{Y}(y)$ 를  $y$ 로 적분한 식이다.  $f_{Y}(y)$ 는 없앨 변수인  $x$ 로 적분해야 한다.
올바른 식은  $f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{XY}(x,y)\,dx$ 이다.  $y$ 로 적분하면  $y$ 가 사라지고  $x$ 의 함수  $f_{X}(x)$ 가 되므로 좌변과 맞지 않는다.
 $f_{XY}(x,y)\ge 0$ : 확률 밀도는 음이 될 수 없다.
영역 확률의 이중적분: 영역 위에서 결합 밀도를 적분하면 그 영역의 확률이다.
결합 누적분포  $F_{XY}(x,y)$ 의 이중적분: 음의 무한대부터  $(x,y)$ 까지 적분한 정의 그대로다.
전 영역 적분이 1: 전체 확률은 1이다.

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