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1[경찰간부후보생 통계학] 24년 1회차

두 모집단의 모분산이 같은지를 알아보기 위해 다음 가설을 고려한다.
 $H_0:\sigma_X^2=\sigma_Y^2$ 
귀무가설 하에서 검정통계량  $T=\frac{S_X^2}{S_Y^2}$ 의 분포는? 단,  $S_X^2$ 과  $S_Y^2$ 은 각 모집단에서 추출한 확률표본의 표본분산이고,  $n_X$ 와  $n_Y$ 는 표본 크기다.

 $t(n_X+n_Y-2)$

 $\chi^2(n_X+n_Y)$

 $F(n_X-1,\ n_Y-1)$

감마분포, 즉,  $Gamma(n_X,\ n_Y)$

해설

검정통계량의 분포는 $F(n_X-1,\ n_Y-1)$ 이다.

독립인 두 정규모집단에서 표본분산은 각각 자유도로 조정하면 카이제곱분포를 따르므로, 그 비는 분자·분모 자유도가 표본 크기 빼기 1인 $F$ 분포를 따른다. 귀무가설 아래에서는 모분산이 약분되어 $T$ 만 남는다.

$t(n_X+n_Y-2)$ : 등분산 가정 아래 두 모평균 차이를 검정할 때의 분포이다.
$\chi^2(n_X+n_Y)$ : 분산 비의 분포가 아니며, 자유도도 맞지 않는다.
$Gamma(n_X,\ n_Y)$ : 표본분산 비의 분포가 아니다.

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