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1[7급 국가직 자동제어] 21년 1회차

다음과 같은 단일 입출력 상태공간방정식에서  $x=Pz$ 를 이용하여 새로운 상태변수  $z$ 인 같은 차원의 상태공간방정식으로 상사변환(similarity transformation)할 때, 극점과 영점에 대한 설명으로 옳은 것은? (단,  $x$ 는  $n\times 1$  상태벡터이고  $P$ 는  $n\times n$  정칙행렬(nonsingular matrix)이다)
 $\dot{x}=Ax+Bu$ 
 $y=Cx$

상사변환 전후의 극점과 영점의 위치는 동일하다.

상사변환 전후의 극점의 위치는 동일하지만 영점의 위치는 달라진다.

상사변환 전후의 극점의 위치는 달라지지만 영점의 위치는 동일하다.

상사변환 전후의 극점과 영점의 위치는 달라진다.

해설

상사변환 전후 극점과 영점의 위치는 모두 동일하다.
변환 후  $\bar{A}=P^{-1}AP,\ \bar{B}=P^{-1}B,\ \bar{C}=CP$ 이므로
 $\bar{C}(sI-\bar{A})^{-1}\bar{B}=CP\,P^{-1}(sI-A)^{-1}P\,P^{-1}B=C(sI-A)^{-1}B$ 
즉 전달함수가 불변이다.
극점은 고윳값( $\det(sI-\bar{A})=\det(sI-A)$ ), 영점은 전달함수 분자로 정해지므로 둘 다 그대로다.
영점만 달라진다는 설명은 전달함수 불변성에 어긋난다.
극점만 달라진다는 설명은 닮음행렬의 고윳값이 같다는 성질에 어긋난다.
둘 다 달라진다는 설명은 상태변수의 좌표만 바꾸는 상사변환의 의미와 맞지 않는다.

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