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1[7급 국가직 자동제어] 21년 1회차

다음과 같은 상태공간방정식에서 특성방정식(characteristic equation)의 근궤적(root locus)에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단,  $K>0$ 이고,  $j=\sqrt{-1}$ 이다)
 $\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\\\dot{x}_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-K&-4&-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}r$ 
 $y=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$

점근선의 각도는 60°, 180°, 300°이다.

점근선의 실수축과 교차점은 －2이다.

근궤적의 허수축과 교차점은  $+j2$ 와  $-j2$ 이다.

근궤적의 허수축과 교차점에서의  $K$ 값은 20이다.

해설

옳지 않은 것은 점근선의 실수축 교차점이 −2라는 설명이다. 실제 교차점은  $-\dfrac{5}{3}$ 이다.
특성방정식:  $\det(sI-A)=s^3+5s^2+4s+K=0$ 
근궤적 형태:  $1+\dfrac{K}{s(s+1)(s+4)}=0$  (극점  $0,-1,-4$ , 영점 없음)
점근선 중심:  $\sigma=\dfrac{0-1-4}{3}=-\dfrac{5}{3}$ 
점근선 각도는  $\dfrac{(2k+1)180^\circ}{3}$ 로 60°, 180°, 300°이므로 옳다.
Routh 배열의  $s^1$ 행  $\dfrac{20-K}{5}=0$ 에서 임계 이득  $K=20$ 이므로 옳다.
보조방정식  $5s^2+20=0$ 에서  $s=\pm j2$ 이므로 허수축 교차점 설명도 옳다.

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