랜덤 변수 X의 확률밀도함수(probability density fun… | [7급 국가직 통신이론] 22년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통신이론] 22년 1회차

랜덤 변수  $X$ 의 확률밀도함수(probability density function)가 다음과 같을 때,  $X$ 의 특성함수(characteristic function)  $\Phi_X(w)$ 는? $f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}, & 0\le x\le 2\\0, & \text{otherwise}\end{cases}$

 $\frac{1}{jw}\left(e^{j2w}-1\right)$

 $\frac{1}{jw}\left(1-e^{jw}\right)$

 $\frac{1}{j2w}\left(e^{j2w}-1\right)$

 $\frac{1}{j2w}\left(1-e^{jw}\right)$

해설

특성함수를 기댓값 정의로 적분하면  $\Phi_X(w)=\dfrac{1}{j2w}\left(e^{j2w}-1\right)$ 이다.
정의:  $\Phi_X(w)=E\left[e^{jwX}\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)e^{jwx}\,dx$ 
대입:  $\Phi_X(w)=\int_0^2\dfrac{1}{2}e^{jwx}\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{j2w}-1}{jw}$ 
결과:  $\Phi_X(w)=\dfrac{1}{j2w}\left(e^{j2w}-1\right)$ 
적분 상한이 2이므로 지수는  $e^{j2w}$ 이고, 밀도  $\dfrac{1}{2}$  때문에 분모에 2가 붙는다는 점으로 나머지 형태를 걸러낸다.

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