경사면 위를 비압축성 Newton 유체가 정상상태의 단일 x방향 층류로… | [7급 국가직 전달현상] 25년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 전달현상] 25년 1회차

경사면 위를 비압축성 Newton 유체가 정상상태의 단일  $x$ 방향 층류로 흘러내린다. 경사면과의 수직거리  $y$ 에 따른 유체의  $x$ 방향 속도의 분포  $V_x(y)$ 가  $\frac{\rho g L^2}{2\mu}\left[\frac{y}{L}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{L}\right)^2\right]$ 일 때, 유체의  $x$ 방향 평균속도는? (단,  $\rho$ 는 유체의 밀도,  $\mu$ 는 유체의 점도,  $g$ 는 중력가속도,  $L$ 은 유체의 두께이다)

 $\frac{\rho g L^2}{6\mu}$

 $\frac{\rho g L^2}{3\mu}$

 $\frac{\rho g L^2}{2\mu}$

 $\frac{\rho g L^2}{\mu}$

해설

평균속도는  $\dfrac{\rho g L^2}{6\mu}$ 이다.
평균속도는 두께에 대한 적분 평균이다.  $\eta=y/L$ 로 두면  $\bar{V}=\dfrac{\rho g L^2}{2\mu}\int_0^1\left(\eta-\dfrac{\eta^2}{2}\right)d\eta=\dfrac{\rho g L^2}{2\mu}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\right)$ 
괄호 값이  $1/3$ 이므로  $\bar{V}=\dfrac{\rho g L^2}{6\mu}$ 이며, 자유표면의 최대속도  $\rho g L^2/(4\mu)$ 의 2/3이다.
 $\rho g L^2/(3\mu)$ : 최대속도보다도 커서 평균일 수 없다.
 $\rho g L^2/(2\mu)$ : 속도식의 앞 계수만 떼어 낸 값이다.
 $\rho g L^2/\mu$ : 적분 평균을 하지 않은 과대값이다.

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