어느 공장에서 생산하는 반도체 웨이퍼 1장당 결함 수는 평균이 0.5인… | [7급 국가직 통계학] 26년 1회차 기출문제 상세 페이지

어느 공장에서 생산하는 반도체 웨이퍼 1장당 결함 수는 평균이 0.5인 포아송 분포를 따르고, 평균이 $m(m>0)$인 포아송 분포의 확률질량함수는 다음과 같다.
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{-m}m^x}{x!}, & x=0,\,1,\,2,\,\cdots\\0, & \text{그 외}\end{cases}$
웨이퍼당 결함 수가 서로 독립일 때, 갑과 을의 대화에서 (가), (나)에 들어갈 값을 바르게 연결한 것은? (단, 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $P(Z\ge 1)=0.1587$, $P(Z\ge 2)=0.0228$이다)
갑: 포아송 분포의 성질을 이용하면 웨이퍼 5장에서 총 결함이 2개 이상일 확률은 ( (가) )임을 알 수 있어.
을: 나는 50장의 웨이퍼를 고려해 보겠어. 중심극한정리를 이용하면 50장의 웨이퍼에서 총 결함이 30개 이상일 확률은 ( (나) )로 근사할 수 있어.
(가)　(나)

$1-e^{-0.5}$　0.0228

$1-e^{-0.5}$　0.1587

$1-3.5e^{-2.5}$　0.0228

$1-3.5e^{-2.5}$　0.1587

(가)는 $1-3.5e^{-2.5}$, (나)는 0.1587이다.
독립인 포아송 확률변수의 합은 포아송이므로 5장의 총 결함은 평균 2.5인 포아송 분포를 따른다.
$P(S\ge 2)=1-e^{-2.5}(1+2.5)=1-3.5e^{-2.5}$
50장의 총 결함은 평균 25, 분산 25(표준편차 5)이므로 중심극한정리로
$P(S\ge 30)\approx P\left(Z\ge\frac{30-25}{5}\right)=P(Z\ge 1)=0.1587$
$1-e^{-0.5}$는 웨이퍼 1장에서 결함이 1개 이상일 확률로, 5장 합산과 '2개 이상' 조건을 반영하지 않았다.
0.0228은 $P(Z\ge 2)$로, 표준화 값 1과 맞지 않는다.