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1[7급 국가직 통계학] 26년 1회차

두 철강 공장  $A$ ,  $B$ 에서 생산하는 소재의 인장강도는 모분산이 각각  $\sigma_A^2$ ,  $\sigma_B^2$ 인 정규분포를 따른다고 한다. 두 철강 공장  $A$ ,  $B$ 의 소재를 각각 13개, 10개 임의추출하여 구한 인장강도의 표본분산은 각각  $s_A^2=27$ ,  $s_B^2=9$ 이다. 두 공장에서 생산하는 소재의 인장강도가 서로 독립일 때, 두 모분산의 비  $\frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2}$ 에 대한 95 % 신뢰구간은? (단,  $F_{\alpha}(k_1,k_2)$ 는 분자와 분모의 자유도가 각각  $k_1$ ,  $k_2$ 인  $F$ 분포의 제 $100\times(1-\alpha)$  백분위수를 나타내고,  $F_{0.025}(12,9)=3.87$ ,  $F_{0.025}(9,12)=3.44$ 이다)

 $\left(\frac{3}{3.87},\,3\times 3.44\right)$

 $\left(\frac{3}{3.87},\,3\times 3.87\right)$

 $\left(\frac{3}{3.44},\,3\times 3.44\right)$

 $\left(\frac{3}{3.44},\,3\times 3.87\right)$

해설

신뢰구간은  $\left(\frac{3}{3.87},\,3\times 3.44\right)$ 이다 — 하한은  $F(12,9)$ , 상한은 자유도를 뒤집은  $F(9,12)$ 를 쓴다.
 $\frac{S_A^2/\sigma_A^2}{S_B^2/\sigma_B^2}\sim F(12,9)$ 이고 표본분산비는  $\frac{27}{9}=3$ 이다.
 $F_{0.975}(12,9)=\frac{1}{F_{0.025}(9,12)}$ 를 이용하면
 $\frac{3}{F_{0.025}(12,9)}\lt \frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2}\lt 3\times F_{0.025}(9,12)$ 
상한에 3.87을 곱한 구간은 역수 관계에서 자유도 순서를 뒤집지 않은 것이다.
하한을 3.44로 나눈 구간은 분자·분모 자유도를 바꿔 쓴 것이다.

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