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1[7급 국가직 통계학] 26년 1회차

볼펜을 제조하는 어느 회사에서는 자사 제품의 판매 비율  $p$ 를 추정하고자 한다. 판매되는 볼펜을 대상으로 임의추출한  $n$ 개 표본 중 자사 제품의 비율을 이용하여  $p$ 를 추정할 때, 95.44 % 신뢰수준에서  $p$ 에 대한 추정량의 오차한계를 0.05 이하로 하는 최소 표본의 크기는? (단, 확률변수  $Z$ 가 표준정규분포를 따를 때  $P(Z\ge 1)=0.1587$ ,  $P(Z\ge 2)=0.0228$ 이다)

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해설

95.44 % 신뢰수준의 임계값은  $z=2$ 이고,  $p(1-p)$ 의 최댓값을 쓰면 최소 표본 크기는 400이다.
 $P(Z\ge 2)=0.0228$ 이므로  $P(|Z|\lt 2)=1-2\times 0.0228=0.9544$ 이다.
 $p$ 를 모르므로  $p(1-p)\le\frac{1}{4}$ 를 쓴다.
 $2\sqrt{\frac{1}{4n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0.05$ 
 $\sqrt{n}\ge 20,\ n\ge 400$

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