다음과 같은 파형을 푸리에 급수로 전개하면? | [전기산업기사 필기] 2023년 2회 기출복원 모의고사 기출문제 상세 페이지

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다음과 같은 파형을 푸리에 급수로 전개하면?

 $y=\dfrac{4A}{\pi}\left(\sin\alpha\sin x+\dfrac{1}{9}\sin 3\alpha\sin 3x+\cdots\right)$

 $y=\dfrac{4A}{\pi}\left(\sin x+\dfrac{1}{3}\sin 3x+\dfrac{1}{5}\sin 5x+\cdots\right)$

 $y=\dfrac{4}{\pi}\left(\dfrac{\cos 2x}{1\cdot 3}+\dfrac{\cos 4x}{3\cdot 5}+\dfrac{\cos 6x}{5\cdot 7}+\cdots\right)$

 $y=\dfrac{A}{\pi}+\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 4x}{4}+\cdots$

해설

푸리에 급수는 y = (4A/π){sin x + (1/3)sin 3x + (1/5)sin 5x + …}이다.
그림의 파형은 x = ωt를 가로축으로 하여 0~π 구간에서 +A, π~2π 구간에서 -A인 구형파(사각파)이다. 한 주기의 평균이 0이므로 직류분은 0이다.
이 파형은 원점 대칭인 기함수(정현대칭)이므로 cos 항이 모두 사라지고 sin 항만 남는다. 또 반주기 간격으로 부호만 뒤집히는 반파대칭이므로 짝수 고조파도 사라져 홀수차만 존재한다.
계수를 직접 구하면 b_n = (2/π)∫₀^πA sin nx dx = 2A(1-cos nπ)/(nπ)이고, n이 홀수이면 4A/(nπ), 짝수이면 0이다.
cos 항으로 전개된 형태, 짝수차(2x, 4x)만 남는 형태, 상수항(A/π)이 붙은 형태는 위의 기함수·반파대칭 성질과 맞지 않는다.

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