수평으로 놓여있는 원관에서 층류의 유속분포가 v=v_{max}\left… | [정수시설운영관리사 2급 1차] 17년 1회차 기출문제 상세 페이지

원관 층류에서 평균유속은 최대유속의 절반이므로 $v_{max}=2v_{m}$이다.
주어진 유속분포 $v=v_{max}\left(1-\dfrac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)$를 단면 전체에 대해 적분해 유량을 구한다.
$Q=\int_{0}^{r_{0}}v\,(2\pi r\,dr)=2\pi v_{max}\int_{0}^{r_{0}}\left(r-\dfrac{r^{3}}{r_{0}^{2}}\right)dr=2\pi v_{max}\left(\dfrac{r_{0}^{2}}{2}-\dfrac{r_{0}^{2}}{4}\right)=\dfrac{\pi r_{0}^{2}v_{max}}{2}$
평균유속은 유량을 단면적으로 나눈 값이므로
$v_{m}=\dfrac{Q}{\pi r_{0}^{2}}=\dfrac{v_{max}}{2}$
즉 관 중심에서 최대이고 관벽에서 0이 되는 포물선형 유속분포의 평균값은 꼭짓점 값의 1/2이 되며, 따라서 최대유속은 평균유속의 2배이다.