임의의 10개 데이터 (x1, y1), …, (x10, y10) 을 이… | [경영지도사 1차] 20년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[경영지도사 1차] 20년 1회차

임의의 10개 데이터 (x₁, y₁), …, (x₁₀, y₁₀) 을 이용하여 얻어진 회귀분석 결과표는 다음과 같다. 이를 이용하여 추정회귀식  $\hat{y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}x$  를 구하고자 한다. 최소제곱법을 이용하여 계산한  $\hat{\alpha},\ \hat{\beta}$  으로 옳은 것은?
 $\bar{x}$ 10
 $\bar{y}$ 40
 $\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2$ 30
 $\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ 60

해설

최소제곱법으로 구하면 기울기는 2, 절편은 20이 되어 추정회귀식은  $\hat{y}=20+2x$ 이다.
표에서 주어진 값은  $\bar{x}=10$ ,  $\bar{y}=40$ ,  $\sum(x_i-\bar{x})^2=30$ ,  $\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=60$ 이다. 기울기는 편차곱합을 x의 편차제곱합으로 나눈 값이므로
 $\hat{\beta}=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{60}{30}=2$ 
절편은 회귀직선이 반드시 평균점  $(\bar{x},\ \bar{y})$ 를 지난다는 성질에서 나온다.
 $\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}=40-2\times 10=20$ 
따라서 절편 20, 기울기 2이며, x가 1만큼 커질 때 y의 추정값이 2만큼 증가한다는 뜻이다. 표에 주어진 값이 이미 편차의 합(제곱합·곱합)이므로 표본크기 10으로 따로 나눌 필요가 없다는 점에 유의한다.

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$\bar{x}$	10
$\bar{y}$	40
$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2$	30
$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$	60