평면 위에 수직으로 고정된 반지름이 r인 원형 궤도를 따라 움직이는 질… | [변리사 1차] 12년 1회차 기출문제 상세 페이지

수직 원형 궤도를 한 바퀴 돌기 위한 최하점 최소 속력은 $v=\sqrt{5gr}$ 이다.
그림은 평면 위에 수직으로 세워진 반지름 r인 원형 궤도이고, a는 궤도의 가장 낮은 지점으로 여기서 속력 v로 출발한다. 궤도를 벗어나지 않는 한계는 최고점에서 수직항력이 0이 되어 중력만으로 구심력을 감당하는 순간이므로 $mg=\dfrac{mv_{\text{top}}^{2}}{r}$, 즉 $v_{\text{top}}^{2}=gr$ 이 최소 조건이다.
마찰이 없으므로 최하점과 최고점 사이에 역학적 에너지가 보존된다. 최고점의 높이는 $2r$ 이므로 $\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{\text{top}}^{2}+mg(2r)$ 이다.
여기에 $v_{\text{top}}^{2}=gr$ 을 넣으면 $v^{2}=gr+4gr=5gr$, 따라서 $v=\sqrt{5gr}$ 이다. 질량 m이 소거되어 물체의 무게와 무관한 값이라는 점도 확인된다.