그림과 같이 내부 전극의 반지름이 r1, 외부 전극의 반지름이 r3인 … | [변리사 1차] 15년 1회차 기출문제 상세 페이지

전기용량은 $C = \dfrac{4\pi\epsilon_{1}\epsilon_{2}r_{1}r_{2}r_{3}}{\epsilon_{1}(r_{1}r_{3}-r_{1}r_{2}) + \epsilon_{2}(r_{2}r_{3}-r_{1}r_{3})}$이다.
그림에서 안쪽 전극(반지름 $r_{1}$)과 $r_{2}$ 사이는 유전율 $\epsilon_{1}$인 유전체 A가, $r_{2}$와 바깥 전극($r_{3}$) 사이는 유전율 $\epsilon_{2}$인 유전체 B가 채우고 있다. 두 층은 같은 전하 Q를 공유하고 전위차가 더해지므로 직렬 연결이다.
반지름 a, b인 두 구면 사이의 전기용량 $C = \dfrac{4\pi\epsilon ab}{b-a}$를 각 층에 적용하면 $C_{A} = \dfrac{4\pi\epsilon_{1}r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}$, $C_{B} = \dfrac{4\pi\epsilon_{2}r_{2}r_{3}}{r_{3}-r_{2}}$이다.
$\dfrac{1}{C} = \dfrac{r_{2}-r_{1}}{4\pi\epsilon_{1}r_{1}r_{2}} + \dfrac{r_{3}-r_{2}}{4\pi\epsilon_{2}r_{2}r_{3}} = \dfrac{\epsilon_{2}r_{3}(r_{2}-r_{1}) + \epsilon_{1}r_{1}(r_{3}-r_{2})}{4\pi\epsilon_{1}\epsilon_{2}r_{1}r_{2}r_{3}}$
통분하면 두 유전율의 자리가 엇갈려 남는다. 즉 $\epsilon_{1}$ 항에는 안쪽 반지름 $r_{1}$과 바깥 층 두께 $(r_{3}-r_{2})$가, $\epsilon_{2}$ 항에는 바깥 반지름 $r_{3}$과 안쪽 층 두께 $(r_{2}-r_{1})$가 짝을 이루어 $\epsilon_{1}(r_{1}r_{3}-r_{1}r_{2}) + \epsilon_{2}(r_{2}r_{3}-r_{1}r_{3})$가 된다. 이 엇갈림이 비슷한 식들과의 구별 기준이며, 두 유전율을 맞바꾼 형태는 직렬 합성과 맞지 않는다.