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1[기계설계산업기사 필기] 16년 3회차

3차원 좌표를 변환할 때 4×4 동차 변환행렬을 사용한다. 그런데 다음과 같이 3×3 변환 행렬을 사용할 경우 표현할 수 없는 것은?
 $[x'\ y'\ z'] = [x\ y\ z]\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

이동 변환

회전 변환

스케일링 변환

반사 변환

해설

3×3 행렬 곱만으로는 이동(평행이동) 변환을 나타낼 수 없다.

회전·스케일링·반사는 모두 좌표에 비례해 작용하는 선형 변환이라 $[x'\ y'\ z']=[x\ y\ z]M$ 꼴의 3×3 행렬 곱으로 그대로 표현된다. 이때 원점은 항상 원점으로 옮겨진다.

반면 이동은 좌표에 상수를 더하는 연산이어서 행렬 곱만으로는 만들어지지 않는다. 그래서 좌표 끝에 1을 덧붙인 동차좌표를 쓰고 4×4 동차변환행렬의 한 행(또는 열)에 이동량을 넣어 회전·축척과 한꺼번에 처리한다.

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