X1,X2,…,Xm은 N(\mu_1,\sigma_1^2)으로부터 랜덤표… | [사회조사분석사 2급 필기] 13년 2회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 13년 2회차

X₁,X₂,…,X_m은  $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 으로부터 랜덤표본이고, Y₁,Y₂,…,Y_n은  $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 으로부터 랜덤표본이고, 서로 독립이라고 한다. 두 랜덤표본의 표본분산이 각각  $S_1^2,\ S_2^2$ 일 때,  $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$ 는 어떤 분포를 따르는가?

F(m,n)

F(m-1,n-1)

X²(m-1)

X²(n-1)

해설

두 정규모집단에서 나온 표본분산비는 자유도 (m−1, n−1)의 F분포를 따른다.
정규모집단에서 표본분산은  $\dfrac{(m-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\sim\chi^2(m-1)$ ,  $\dfrac{(n-1)S_2^2}{\sigma_2^2}\sim\chi^2(n-1)$  관계를 만족하고, 두 표본이 서로 독립이라는 조건이 주어져 있다.
F분포는 독립인 두 카이제곱변수를 각각 자기 자유도로 나눈 뒤 비를 취한 분포이므로
 $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}=\dfrac{\chi^2(m-1)/(m-1)}{\chi^2(n-1)/(n-1)}\sim F(m-1,\ n-1)$ 이다.
자유도를 표본크기 그대로 써서  $F(m,n)$ 으로 두거나, 분자·분모 한쪽만 남은 카이제곱분포로 보는 것은 표본분산의 자유도가 n−1이라는 점과 비(比)의 구조를 놓친 것이다.

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