평균이 μ이고 분산은 σ 2 인 정규모집단에서 모평균 μ를 추정하기 위해서 크기 3인 확률표본 X 1 , X 2 , X 3 를 추출하였다. 두 추정량 1 =(X 1 + X 2 + X 3 )/3과 2 =(2X 1 + 5X 2 + 3X 3 )/10에 관한 설명으로 옳은 것은?

1 은 유효추정량이고, 2 는 불편추정량이다.

1 은 불편추정량이고, 2 는 편향추정량이다.

1 은 일치추정량이고, 2 는 유효추정량이다.

1 은 유효추정량이고, 2 는 편향추정량이다.

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평균이 μ이고 분산은 σ2인 정규모집단에서 모평균 μ를 추정하기 위해서… | [사회조사분석사 2급 필기] 13년 3회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 13년 3회차

평균이 μ이고 분산은 σ²인 정규모집단에서 모평균 μ를 추정하기 위해서 크기 3인 확률표본 X₁, X₂, X₃를 추출하였다. 두 추정량 ₁=(X₁ + X₂ + X₃)/3과 ₂=(2X₁ + 5X₂ + 3X₃)/10에 관한 설명으로 옳은 것은?

₁은 불편추정량이고, ₂는 편향추정량이다.

₁은 일치추정량이고, ₂는 유효추정량이다.

₁은 유효추정량이고, ₂는 불편추정량이다.

₁은 유효추정량이고, ₂는 편향추정량이다.

해설

두 추정량은 모두 불편추정량이지만 분산이 더 작은 표본평균 쪽이 유효추정량이다.
계수의 합이  $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1$ ,  $\tfrac{2}{10}+\tfrac{5}{10}+\tfrac{3}{10}=1$  로 둘 다 1이므로 기댓값이 모두  $\mu$  가 되어 편향이 없다.
분산은  $\mathrm{Var}(\hat{\theta}_1)=\dfrac{1+1+1}{9}\sigma^{2}=\dfrac{\sigma^{2}}{3}\approx 0.333\sigma^{2}$ ,  $\mathrm{Var}(\hat{\theta}_2)=\dfrac{2^{2}+5^{2}+3^{2}}{100}\sigma^{2}=\dfrac{38}{100}\sigma^{2}=0.38\sigma^{2}$  이다.
따라서 표본평균 쪽이 분산이 작아 더 유효(효율적)하고, 가중치를 불균등하게 준 쪽은 여전히 불편이긴 하나 유효성에서 밀린다. 불편추정량 중 분산이 최소인 것을 유효추정량이라 부른다는 정의를 그대로 적용한 문항이다.

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