다음 중 앞면이 나올 확률이 0.5인 동전을 n번 던질 때 앞면이 나타… | [사회조사분석사 2급 필기] 14년 1회차 기출문제 상세 페이지

표본비율은 시행할 때마다 값이 달라지는 확률변수이므로, 100번 던져 얻은 앞면 비율과 1,000번 던져 얻은 앞면 비율이 서로 같다고 한 진술이 틀렸다.
동전을 $n$번 던져 얻은 앞면의 비율 $\hat{p}_n$ 은 기댓값이 $E(\hat{p}_n)=0.5$ 로 표본크기와 무관하게 같을 뿐, 실제로 관측되는 값이 같아지는 것은 아니다. 기댓값이 같은 것과 실현값이 같은 것은 전혀 다른 이야기다.
앞면이 나온 횟수 $n\hat{p}_n$ 은 성공확률 0.5인 베르누이 시행의 합이므로 이항분포 $B\left(n,\ \dfrac{1}{2}\right)$ 를 따른다.
분산은 $Var(\hat{p}_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}=\dfrac{0.5\times 0.5}{n}=\dfrac{1}{4n}$ 이다.
$n$이 커지면 중심극한정리에 의해 $\hat{p}_n$ 의 확률분포는 근사적으로 정규분포를 따른다.
분산이 $\dfrac{1}{4n}$ 이므로 $n$이 커질수록 표본비율이 0.5 부근에 더 몰릴 뿐이며, 서로 다른 표본크기의 두 비율이 일치한다는 보장은 어디에도 없다.