자료 x1, x2, ⋯, xn을 zi=axi+b, i=1, 2, ⋯, … | [사회조사분석사 2급 필기] 14년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 14년 1회차

자료 x₁, x₂, ⋯, x_n을 z_i=ax_i+b, i=1, 2, ⋯, n(a, b는 상수)로 변환 할 때, 평균과 분산에 있어서 변환한 자료와 원자료 사이에 성립하는 관계식은? (단, 원자료의 평균과 분산은 각각  $\overline{x},\ s_x^{2}$ 이고, 변환한 자료의 평균과 분산은 각각  $\overline{z},\ s_z^{2}$ 이다.)

해설

변환 후 평균과 분산은  $\overline{z}=a\overline{x}+b$ ,  $s_z^{2}=a^{2}s_x^{2}$ 의 관계를 갖는다.
평균은 합과 상수배가 그대로 통과하므로  $\overline{z}=\dfrac{1}{n}\sum (ax_i+b)=a\overline{x}+b$ 가 되어 배율  $a$ 와 이동량  $b$ 가 모두 반영된다.
반면 분산은 편차만 보므로  $z_i-\overline{z}=a(x_i-\overline{x})$ 에서 상수  $b$ 가 소거되고  $a$ 는 제곱되어 남는다. 즉 위치를 옮기는 상수  $b$ 는 분산을 바꾸지 못하고, 배율  $a$ 는 분산을  $a^{2}$ 배로 만든다.
분산 식에  $+b$ 가 그대로 남아 있거나  $a$ 가 제곱되지 않은 형태, 평균 식에서  $+b$ 가 빠진 형태는 모두 이 성질에 어긋난다.

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