다음과 같은 단순회귀식이 있을 때 α, β의 최소제곱 추정값은 무엇인가… | [사회조사분석사 2급 필기] 14년 2회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 14년 2회차

다음과 같은 단순회귀식이 있을 때 α, β의 최소제곱 추정값은 무엇인가?
 $Y_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i,\ i=1,\cdots,n$ 
 $\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=50,\quad \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})=-3500$ 
 $\overline{Y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i=100,\quad \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=2000$

187.5, -1.75

190.5, -2.75

200.5, -1.75

187.5, -2.75

해설

주어진 제곱합과 평균으로 계산하면 절편 187.5, 기울기 −1.75가 나온다.
기울기는  $\hat{\beta}=\dfrac{\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sum(X_i-\overline{X})^2}=\dfrac{-3500}{2000}=-1.75$ 이다.
절편은 회귀직선이 항상  $(\overline{X},\overline{Y})$ 를 지난다는 성질에서  $\hat{\alpha}=\overline{Y}-\hat{\beta}\,\overline{X}=100-(-1.75)\times 50=100+87.5=187.5$ 로 구한다. 기울기의 음수 부호를 놓치면 절편이 12.5로 잘못 나오므로 부호 처리에 주의한다.

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