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1[사회조사분석사 2급 필기] 14년 2회차

다음 단순회귀모형에 관한 설명으로 올바른 것은? (단,  $S_Y^2=\sum_{1}^{n}(Y_i-\overline{Y})^2$ ,  $S_X^2=\sum_{1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$ ,  $e_i \sim N(0,\sigma^2)$ )
 $Y_i = \alpha + \beta X_i + e_i,\ i=1, 2, \cdots, n$

X와 Y의 표본상관계수를 r이라 하면 β의 최소 제곱추정량은 이다.

모형에서 X_i와 Y_i를 바꾸어도 β의 추정량은 같다.

X가 Y의 변동을 설명하는 정도는 결정계수로 계산되며 Y의 변동이 작아질수록 결정 계수는 높아진다.

오차항 의 분산이 동일하지 않아도 무방하다.

해설

표본상관계수 r과 제곱합  $S_X$ ,  $S_Y$ 를 쓰면 기울기의 최소제곱추정량은  $\hat{\beta}=r\dfrac{S_Y}{S_X}$ 로 표현된다.
최소제곱추정량은  $\hat{\beta}=\dfrac{\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sum(X_i-\overline{X})^2}$ 인데, 상관계수의 정의  $r=\dfrac{\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{S_X S_Y}$ 에서 분자를  $r S_X S_Y$ 로 바꿔 넣으면  $\hat{\beta}=\dfrac{r S_X S_Y}{S_X^2}=r\dfrac{S_Y}{S_X}$ 가 된다.
X와 Y를 바꾸면 분모가  $S_X^2$ 에서  $S_Y^2$ 로 바뀌어 추정량이  $r S_X/S_Y$ 가 되므로 일반적으로 같지 않다.
결정계수는  $R^2=\dfrac{SSR}{SST}$ 로 Y의 총변동 중 회귀가 설명하는 비율이며, Y의 변동이 작아진다고 자동으로 높아지지 않는다.
오차항에는 등분산 가정이 반드시 필요하며, 이를 어기면 추정량의 분산 추정과 유의성 검정이 왜곡된다.

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