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1[사회조사분석사 2급 필기] 15년 3회차

모 상관계수가 μ인 이변량 정규분포를 따르는 두 변수에 대한 자료 (x_i, y_i)(i=1,2,∙∙∙, n) 에 대하여 표본상관계수  $r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\,\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$  을 이용하여 귀무가설  $H_0 : \rho = 0$  을 검정하고자 한다. 이때 사용되는 검정통계량과 그 자유도는?

해설

모상관계수가 0인지 검정할 때 쓰는 통계량은  $t=\sqrt{n-2}\,\dfrac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ 이고, 이 통계량은 자유도 n-2인 t분포를 따른다.
표본상관계수는  $r=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}$ 로 정의되며,  $H_0:\rho=0$  아래에서 이 r을 표준화한 값이 위의 t가 된다. 자유도가 n-2인 이유는 단순회귀에서 절편과 기울기 두 개의 모수를 추정하면서 2를 잃기 때문이다.
제곱근 안이  $1-r$ 로 되어 있는 식은 표준화 유도 과정과 맞지 않아 성립하지 않는다.
 $\sqrt{n-1}$ 과 자유도 n-1을 쓰는 식은 표본분산의 자유도를 그대로 가져온 오류로, 상관계수 검정의 자유도가 아니다.

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