구분되지 않는 n개의 공을 서로 다른 r개의 항아리에 넣는 방법의 수는… | [사회조사분석사 2급 필기] 16년 1회차 기출문제 상세 페이지

구분되지 않는 n개의 공을 서로 다른 r개의 항아리에 하나 이상씩 넣는 방법의 수는 $\binom{n-1}{r-1}$이다.
공이 서로 구분되지 않으므로 정해야 할 것은 어떤 공이 어디로 가느냐가 아니라 각 항아리에 몇 개가 들어가는가뿐이다. 즉 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{r}=n$, $x_{i}\ge 1$인 양의 정수해의 개수를 세는 문제다.
n개의 공을 일렬로 늘어놓으면 공 사이의 틈이 n−1개 생긴다. 이 틈 가운데 r−1곳에 칸막이를 하나씩 세우면 공 무더기가 정확히 r개로 나뉘고, 한 틈에 칸막이가 둘 이상 겹치지 않으므로 어떤 무더기도 비지 않는다. 따라서 구하는 수는 틈 n−1개에서 r−1개를 고르는 $\binom{n-1}{r-1}$이다.
예로 n=3, r=2이면 $\binom{2}{1}=2$이고 실제로 (1개, 2개)와 (2개, 1개) 두 가지뿐이어서 맞는다.
$\binom{n}{r}$는 서로 다른 n개에서 r개를 고르는 수로, 구분되지 않는 공을 항아리에 나눠 담는 상황과 대응하지 않는다.
$r^{n}$은 공이 서로 구분될 때 각 공을 r개 항아리 중 하나에 넣는 수이며 빈 항아리까지 허용하므로, '구분되지 않는다'와 '최소 1개 이상' 두 조건 모두에 어긋난다.
$\binom{n-1}{r}$는 틈 n−1곳에서 칸막이를 r개 고른 것이어서 무더기가 r+1개로 나뉘어 항아리 수가 맞지 않는다.