어떤 처리 전후의 효과를 분석하기 위한 대응비교에서 자료의 구조가 다음… | [사회조사분석사 2급 필기] 16년 3회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 16년 3회차

어떤 처리 전후의 효과를 분석하기 위한 대응비교에서 자료의 구조가 다음과 같다.
쌍 처리 전 처리 후 차이
1 X₁ Y₁ D₁ = X₁ − Y₁
2 X₂ Y₂ D₂ = X₂ − Y₂
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
n X_n Y_n D_n = X_n − Y_n
일반적인 몇 가지 조건을 가정할 때 처리 이전과 이후의 평균에 차이가 없다는 귀무가설을 검정하기 위한 검정통계량  $T = \dfrac{\overline{D}}{S_{D}/\sqrt{n}}$  은 t분포를 따른다. 이때 자유도는? (단,  $\overline{D} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D_{i}$ ,  $S_{D}^{2} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(D_{i} - \overline{D})^{2}}{n-1}$  이다.)

쌍	처리 전	처리 후	차이
1	X₁	Y₁	D₁ = X₁ − Y₁
2	X₂	Y₂	D₂ = X₂ − Y₂
⋮	⋮	⋮	⋮
n	X_n	Y_n	D_n = X_n − Y_n

n-1

2(n-1)

2n

해설

대응비교(짝지은 표본) t검정의 자유도는 n − 1이다.
표에서 보듯 쌍마다  $D_{i} = X_{i} - Y_{i}$  하나씩만 남으므로, 2n개의 관측값이 n개의 차이값 한 집단으로 축소된다. 그 결과 검정통계량  $T = \dfrac{\overline{D}}{S_{D}/\sqrt{n}}$ 은 크기 n인 단일표본 t검정과 완전히 같은 형태가 된다.
분모의 표본분산  $S_{D}^{2} = \dfrac{\sum(D_{i}-\overline{D})^{2}}{n-1}$ 가  $\overline{D}$ 를 먼저 추정해 쓰므로 제약이 하나 생기고, 그만큼 자유도가 하나 줄어 n − 1이 된다.
2(n−1)이나 2n은 처리 전·후를 서로 독립인 두 집단으로 볼 때의 값이라 같은 대상을 짝지어 측정한 대응 구조를 무시한 것이고, n은 평균 추정에 따른 제약을 빼지 않은 값이다.

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