중회귀식을 행렬로 표시하면 다음과 같다.Y = X\beta + \var… | [사회조사분석사 2급 필기] 16년 3회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 16년 3회차

중회귀식을 행렬로 표시하면 다음과 같다.
 $Y = X\beta + \varepsilon$ 
여기서 각각 Y는 n×1, X는 n×p, β는 p×1, ε는 n×1 행렬이다. 최소제곱법에 의한 회귀계수 β의 추정량 β를 바르게 나타낸 것은? (단, X^T 는 X의 전치행렬이다.)

β = (X^TX)^-1X^TY

β = (X^TX)^-1X^TY(X^TX)^-1

β = X^TY(X^TX)^-1

β = X^T(X^TX)^-1Y

해설

최소제곱법에 의한 회귀계수 추정량은  $\hat{\beta} = (X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$ 이다.
모형  $Y = X\beta + \varepsilon$ 에서 잔차제곱합  $(Y-X\beta)^{T}(Y-X\beta)$ 를 β로 미분해 0으로 놓으면 정규방정식  $X^{T}X\beta = X^{T}Y$ 가 나온다. 양변 왼쪽에  $(X^{T}X)^{-1}$ 를 곱하면 곧바로 위 추정량을 얻는다.
행렬 차원으로도 걸러낼 수 있다.  $X^{T}X$ 와 그 역행렬은 p×p,  $X^{T}Y$ 는 p×1이므로 곱은 β와 같은 p×1이 된다. 뒤에  $(X^{T}X)^{-1}$ 를 한 번 더 곱한 형태나,  $X^{T}Y$ 를 먼저 계산해 뒤에서 곱하는 형태,  $X^{T}(X^{T}X)^{-1}Y$  형태는 모두 곱셈이 정의되지 않거나 p×1이 되지 않아 성립하지 않는다.

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