단순회귀모형 Y i =β 0 +β 1 X i +ε i ,(i=1,2,⋯… | [사회조사분석사 2급 필기] 18년 1회차 기출문제 상세 페이지

잔차제곱합은 0이 아닌 양수인데 적합값과 잔차의 곱의 합은 0이므로, 잔차제곱합이 적합값·잔차 곱의 합과 같다는 관계는 성립하지 않는다.
최소제곱법은 $\sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$을 최소화하는 과정에서 정규방정식 $\sum e_i = 0$과 $\sum X_i e_i = 0$을 얻는다. 즉 잔차의 합과 설명변수·잔차 곱의 합은 모두 0이다.
잔차의 합이 0이라는 성질, 그리고 잔차의 합이 설명변수·잔차 곱의 합과 같다는 성질은 양변이 모두 0이므로 옳다.
적합값이 $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$이므로 $\sum \hat{Y}_i e_i = \hat{\beta}_0 \sum e_i + \hat{\beta}_1 \sum X_i e_i = 0$이 되어, 설명변수·잔차 곱의 합과 적합값·잔차 곱의 합이 같다는 성질도 옳다.
반면 $\sum e_i^2$은 잔차제곱합(SSE)으로, 모든 자료가 회귀직선 위에 정확히 놓이지 않는 한 항상 양수다. 그런데 이와 같다고 놓은 우변은 설명변수(또는 적합값)와 잔차를 곱해 더한 값이어서 정규방정식에 의해 0이 되므로, 양수인 잔차제곱합과 같아질 수 없다.